Нахождение полного дифференциала dz
Исходная функция:
z = f(x²cosy, x³siny)
Шаг 1: Введем обозначения
u = x²cosy
v = x³siny
Тогда z = f(u, v)
Шаг 2: Находим частные производные u и v
∂u/∂x = 2x·cosy
∂u/∂y = -x²·siny
∂v/∂x = 3x²·siny
∂v/∂y = x³·cosy
Шаг 3: Применяем правило дифференцирования сложной функции
dz = (∂f/∂u)·du + (∂f/∂v)·dv
dz = (∂f/∂u)·(∂u/∂x·dx + ∂u/∂y·dy) + (∂f/∂v)·(∂v/∂x·dx + ∂v/∂y·dy)
Шаг 4: Подставляем найденные производные
dz = f'₁·[(2x·cosy)dx + (-x²·siny)dy] + f'₂·[(3x²·siny)dx + (x³·cosy)dy]
где f'₁ = ∂f/∂u, f'₂ = ∂f/∂v
Шаг 5: Группируем слагаемые при dx и dy
dz = [2x·cosy·f'₁ + 3x²·siny·f'₂]dx + [-x²·siny·f'₁ + x³·cosy·f'₂]dy
Окончательный ответ:
dz = (2x·cosy·f'₁ + 3x²·siny·f'₂)dx + (-x²·siny·f'₁ + x³·cosy·f'₂)dy
где f'₁ = ∂f/∂u, f'₂ = ∂f/∂v, u = x²cosy, v = x³siny